在 \cite{Backelin1997} 中，Erik Backelin 證明了 $\psi$-Whittaker 向量在 Verma模 $M(\lambda)$ 的 weight completion $\overline{M(\lambda)}$ 裡形成的空間是一維的，但並沒有給出具體的 Whittaker 向量。我們在某些好的 weight 下，找出了一個Whittaker 向量的明確構造，並且證明其在固定系數的情況下唯一，這提供了 backelin 部分結果的另一種證明。我們還給出了這個構造在$\mathfrak g=\mathfrak{sl}_3$ 情況下的PBW基底展開。;In \cite{Backelin1997}， Erik Backelin proved that the space of $\psi$-Whittaker vectors in the weight completion $\overline{M(\lambda)}$ of Verma modules $M(\lambda)$ is one-dimensional， but does not in general provide an explicit formula for the Whittaker vector. In this paper， we find an explicit construction of the Whittaker vector for some admissible weights $\lambda$， and proved it is unique up to scalar. this gives an alternating proof of Backelin′s result. We also give explicit computations in the case $\mathfrak g=\mathfrak{sl}_3$ using a Poincar\′e--Birkhoff--Witt basis.
