| 摘要: | 本計畫以本人九十四年度國科會研究計畫幾何布朗運動之分解及推廣（以下以計畫編號NSC 94-2118-M-008-007 代表此計畫） 為基礎作進一步深入研究， 如NSC 94-2118-M-008-007 所述幾何布朗運動為一重要的數學模型，其應用範圍包含機率、物理、化學、生物、財金工程及醫學等。但並非所有實際現象都可用幾何布朗運動模型正確無誤地描述，因此我們考慮下列模型 X (t) ?ceaB(t )?b ?de?aB(t )?b , 其中a, b, c, d, 為參數， B(t) 為標準布朗運動。當d ?0 時X (t) 為幾何布朗運動。當d 值小時， X (t) 表幾何布朗運動加上一些小擾動，增加此模型之適用範圍。當c ?d ?1/ 2，b ?0 時， X (t) ?cosh ?aB(t)?，當c ??d ?1/ 2 ， b ?0 時， X (t) ?sinh ?aB(t)?，各表幾何布朗運動之分解。在NSC 94-2118-M-008-007 之研究中，我們討論a, b, c, d 四參數之點估計並證得其一致性。根據上述結果，本計畫第一年將嘗試解答下列理論問題 (1) 推導上述估計式之漸進常態性 (2) 推導上述估計式之漸進有效性 (3) 推導上述估計式之均方差 (4) 應用上述估計式於模型檢定之問題 (5) 其他估計式 (6) 深入討論X (t) 之機率性質本計畫之第二年將探討X (t) 在財金之應用, 我們在NSC 94-2118-M-008-007 之研究中發現, 若在c ?0 及d ?0 時以X (t) 代替幾何布朗運動討論Black-Scholes 問題，若u(t,x) 表時間t 股價x 時投資組合的價值且u(0,X(T))?(X(T)?K)?，r 為利率, 則u 滿足下列偏微分方程式 2 2 1 22 2 ( , ) ( 4 ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 (0, ) ( ) 0, [0 ] a u t x x cd u t x rxu t x ru t x u x x K ? x t T ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? (若cd=0 則上述方程為Black-Scholes 方程) 根據上述結果，本計畫第二年將嘗試解答下列理論及應用問題 (1) 研究上述方程式之解的存在性及唯一性 (2) 計算上述方程式之解或近似解 (3) 解釋上述方程式之解或近似解在財金上的意義 (4) 用X(t)代替幾何布朗運動,再用martingale 理論討論Black-Scholes 問題 (5) 研究以X (t) 代替股價時，如何預訂出售股價, 使股票出售利益為最高 (6) 用X(t)代替幾何布朗運動研究其他使用幾何布朗運動分析的問題本計畫第三年將原模型之b 改為bt 考慮下列模型 X (t) ?ceaB(t )?bt ?de?aB(t )?bt , 嘗試解答上述諸問題 。研究期間：9608 ~ 9707 |
