定點離散核估計; A Fixed Point Approach for Discrete Kernel Estimation

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Title:	定點離散核估計;A Fixed Point Approach for Discrete Kernel Estimation
Authors:	陳盈任;Yi-Lin Chen
Contributors:	數學研究所
Keywords:	核估計;平滑參數;定點離散;定點方程式;A Fixed Point;Discrete;Kernel
Date:	2000-06-27
Issue Date:	2009-09-22 11:04:40 (UTC+8)
Publisher:	國立中央大學圖書館
Abstract:	假設 n_{i},i=1,...,K , 是多項分佈第 i 類的觀察值 , 則第 i 格機率的最大概似估計量是 ,i=1,...,K . 因為當觀察值個數 n 很小或當 K 值很大時則很多值為 0 .為改善此缺點 , Aitchison 和 Aitken (1976) 提出下列離散型估計量 = (1- ) + i=1,...,K . 文獻中有很多決定平滑參數的方法 , 例如 , 最大修正概似值法 ( maximize-modified-likelihood ) ( Aitchison 和 Aitken (1974) ) , 最小均方差法 ( minimize-mean-squar-error ) ( Hall (1981) ) , 和交叉認證法 ( cross-validation ) ( Stone (1974) ), 等等 , 詳細內容請參考 Hand (1982)的書. 這篇論文之想法得自定點連續核估計法 . 連續機率密度 f(x) 之核估計為 = , 其中 h 為窗距 , 為一已知的密度函數 . 理想的 h 是 f(x) 的函數 , 以 h = S(f(x))表之而又是 h 的函數以 = H(h) 表示 , 因任一好的估計式 (x) ~ (x) , 故 h 滿足一個定點方程式 h ~ S( (x)) = S(H(h)) , 詳細內容請參考 Sheather 和 Jones (1991) . 這個方法叫第二代的窗距選法 , 它比第一代窗距選法較可靠 . 詳細內容請參考 . Jones et al . (1996) . 定點法也能應用到離散型核估計而這也是本文的目的 . 換言之設 = (p ,...,p ) 和 = ( ,..., ) . 任何理想的是機率的函數 , 即 = F(P) . 顯然地 , 是的函數也就是 = G( ) . 任意好的估計量必定接近 P , 所以 = F(G( )) 或 = G(F( )) .本文將討論此兩個方程式之定點 ,當作和 P 之估計式 . 本文之第二節討論平滑參數之定點方程式及近似解 , 第三節討論機率 P 之定點方程式及近似解 , 第四節為結論 . 第二節平滑參數之定點方程式及近似解令 M( ) = E 其中 = 1 , 且 0 1 , i=1,.......,K . 則 M( ) = (1- ) 解方程式上述方程式之根為由下列方程式在將代入上式可得 [ ( －2 ＋ ) ＋ ] － [ ( －2 ＋ ) ＋ ] ＋ (1－ ) ＝ 1 － [ ( －2 ＋ ) ＋ ] , 最後表成之三次多項方程式 [(1－ ) －＋ ] ＋[( －2) ＋－ ] ＋ [(1－ ) －＋＋1] ＋－ 1 = 0 令 a = (1－ ) －＋ , b = ( －2) ＋－ . c = (1－ ) －＋＋1 , d = － 1 . 則可簡化成下列方程式 a ＋b ＋c ＋d = 0 因為上列的不等式在 n n+1 時成立 , 而當 n 夠大時 n n+1 必成立 . (若存在 j 使 n=n 恒成立則 p = 1 , 我們不考慮此特殊情形) . 由上述結果 , 我們得到下式＝ 0 且＝ O( )} , 故 a ＋b ＋c ＋d = 0 ~ c ＋d = 0 即近似解所以當 n 3 時所以我們可得 > 0 . 本節之結論為定點法不只在小樣本有合理解釋在大樣本時亦是有效的.
Appears in Collections:	[數學研究所] 博碩士論文

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