提昇後的凌波函數與數值分析

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题名:	提昇後的凌波函數與數值分析
作者:	曾譯醇;Yi-Chen Zang
贡献者:	數學研究所
关键词:	條件數;剛度矩陣;質量矩陣;玻頌方程;稀疏矩陣;condition number;stiffness matrix
日期:	2001-07-09
上传时间:	2009-09-22 11:05:30 (UTC+8)
出版者:	國立中央大學圖書館
摘要:	第一章我們提出一套提昇自格函數與凌波函數逼近能力的方法，利用此法可以將 Daubechies 正交自格函數與正交凌波函數提升為一套雙正交的自格函數與凌波函數，其中自格函數的導函數與其自己的平移幾乎正交，凌波函數的導函數其自己平移正交，而且與自格函數的導函數也正交?這種微分後正交的特性對於微分方程的數值解特別有幫助?此基底下所得到的剛度矩陣可藉由微分正交以及凌波轉換的特性，使得矩陣享有稀疏(sparse) 與降低條件數 (condition number) 的性質? 另外，在探討雙正交凌波理論時，我們也發現對偶自格函數之間，彼此動量的關係? 第二章我們以 Helmholtz 與 Poisson 方程為例，利用傳統的有限元素法，將微分方程化微弱解型式，再以分片1 階基底函數將它轉變為線性聯立方程式 Au=F 然後求出逼近解 uh?從一些文獻中，我們知道矩陣 A 的條件數與逼近解的誤差都會與網格的尺度有關，而且兩者有其對應的性質? 第三章將介紹另一種 Galerkin 方法的基底: 提昇後的自格函數，它不但具有一般有限元基底的良好性質 (連續性，可微性與局部性)，並且具有導函數平移後幾乎正交與多重解析的能力?我們先從較簡單的 Poisson 方程下手，討論其對應的剛度矩陣 (stiffness matrix)，接著按照同樣的步驟，應用在 Helmholtz 方程，再推導出質量矩陣 (mass- matrix)?並且使用 Wavelet-Galerkin 方法與 (1.19) 的性質，使得剛度矩陣的條件數降低?為了與第二章比較，我們選用相同的問題? 第四章為了比較分片線性有限元的差異，我們計算與第二章相同的問題，同樣的我們也給定週期性的附加條件，利用提昇後的自格函數為基底的 Scaling-Galerkin 法來逼近真解，分別計算誤差與條件數的大小，並且觀察他們與網格粗密的關係，而且條件數與逼近解的誤差有密不分的關係?並且利用 Wavelet-Galerkin 方法，降低剛度矩陣的條件數，並且在真解與逼近解得到更小的誤差?這在求解規模較大的矩陣方程相當用?
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