我們作的論文有兩個部分，一個是Lyons不等式，一個是Meyer-König-Zeller算子的估計。 在論文的第一部分是Lyons不等式的證明，T.J. Lyons原本在西元1995年的時候，證明出一個不等式，但是他認為他所證明的不等式可以再改進，所以他根據了一些數值證據提出了他的猜測，而我們所作的Lyons不等式就是為了證明他的猜測是對的，而我們為了證明Lyons不等式用了一些Gemma函數與Beta函數的關係等式，還有一些基本的微積分計算，最後我們得到的結論是對於n≦10和0<α≦1/2的12783次方，在這個條件下Lyons所猜測的不等式會是對的。 在論文的第二部分是Meyer-König-Zeller算子的估計，E.R. Love在西元1994年曾對Meyer-König-Zeller這個算子做過估計，當時的估計的式子稍微有點長和繁雜，所以我們把它稍微的簡化了，為了對Meyer-König-Zeller算子作估計，我們用一些機率的方法和一些正線性算子的基本性質，最後我們得到比E.R. Love更簡化的估計。 Abstract. In the first part of this thesis, we prove Lyons’ inequality for limited n and sufficiently small alpha > 0, using the relationship between the beta function and the gamma function, and the basic calculus. In the second part, we modify Love’s proof to give an estimate of the rate of convergence for approximation of functions of bounded variation when operated by the integrated Meyer-K?onig and Zeller operators. The proof uses a result from the probability theory and basic properties of positive linear operators.
