| 摘要: | 在有限區間上的凌波函數, 提供了一些新的 可能.例如,處理影像時不再須要在邊界附近作 各種延拓,微分方程的邊界值條件可以直接用 凌波基底來表現, 等等.它也面臨了新的問題. 在訊號分解方面, 由區間凌波函數造成的分解 算子不再正交於低階的多項式點值;非但如此, 它甚至會放大這些多項式的成分,使得分解後 的係數在高頻發生不正常的跳動.Cohen/Daubechies/Vial 發現一個方法, 只要把一組訊 號的前後有限多個分量,先作一個線性變換 (其 實就是把它們轉換到和分解算子正交的子空間 ),然後才開始分解, 就可以避免上述的缺失.這 個方法不能應用於二維的影像分解.這是第一 個問題.我們要找一個方法, 使得: (1) 分解算子 可以正交於低階的多項式點值,(2) 分解後的低 頻部分要保持原圖像的尺度和特徵,(3) 整個額 外處理的計算複雜度應該不能超過 $O(\sqrtn)$( 什麼是理論上的最低複雜度?)區間凌波函數未 必直接符合微分方程的邊界值條件. Auscher 和 Jawerth 分別論述了如何製造符合特定邊界值的 區間凌波函數.但是 Daubechies 和Jawerth 的` ` 標 準''區間凌波函數在靠近邊界時其實是多項式. 有沒有可能從這一套` ` 標準''函數來合成符合 特定邊界值的函數,而不須重新經由整套正交 化的過程來製造?這是第二個問題.即使用符合 邊界值的區間凌波函數來分解二階橢圓微分算 子,我認為它的矩陣條件數仍不會改變: 還是很 大.但若是把它經過 Xu/Shann 的反導數處理之後 再拿來分解微分算子,則所造成的剛度矩陣就 應該有好的條件數, 而且不隨格點數改變.我希 望有一名研究生來進行這兩個實驗.基於我上述的猜想, 區間凌波函數對於微分方程的求解 並沒有多大幫助.倒是對於積分方程的數值解, 它應該能提供比較顯著的技術改進.但是我對 積分方程還沒什麼經驗, 想要開始試試. ; 研究期間 8408 ~ 8507 |
